下記アプリと、全く同じシステムを依頼した場合、どれくらいの費用になりますでしょうか？

iPhoneをターゲットとする場合では、最低500万円ぐらいじゃないでしょうか？
あとは、作業を任すところによります。

備考）
通知機能を使用する場合は、別途通知用のサーバーが必要ですがありますか？
ない場合は、用意する必要があります。
また、アプリだけでどのくらい機能をもたせるかで金額は上がっていきます。

基本的に、システムの開発と同じなので、人件費として何人月で作るかという事でも値段は変わります。

基本的に、登録・マッチングなどDBが必要那アプリになるので、値段はそれ相応になるかと思います。

参照URLのアプリの場合には、簡易のメッセージやグループ機能などソーシャル要素も盛りだくさんで
写真なども追加する機能があるので、安く見積もっても400万～という感じですかね。

システムのみの金額ですし、アプリの場合には、システムのみではなくデザインと同時進行で、デザイン
に対して機能をアサインしていく開発を行わないと、使いにくいアプリとなり使われないだけで無意味な
アプリになってしまうので、デザインを別に開発をするというのはやめた方が良いと思います。

やり方はいろいろありますが、
書き込みにある機能を見た限り(肉会は使ったことないので詳細は抜けてると思います)安めに最低限の機能でざっくり見積もるとこんな感じになるのではないかと思います。
サイトを見るとAndroid版もあったのでそちらも込みになってます。

システム＋アプリを作っても別途サーバーの運用費と保守・運用代が掛かるので、
運用で一定以上の費用がかかることも念頭に置くべきだと思います。

また、エヴァンジェさんもおっしゃっていますが、デザインとシステムは別々に依頼するのではなくデザイン込みで制作できる所に仕事を投げるべきだと思います。

以下見積もりです。

前提:
開発対象
WEB一般ユーザーサイト
WEB管理システム
WEBAPI + Facebookアプリ
Androidアプリ
iPhoneアプリ

サーバー - 2台(+1台ロードバランサ)

システム設計 - 40万円
サーバー設定 - 20万円

WEBAPI + Facebookアプリ
Facebookアプリ設定 - 10万
Facebookアカウントログイン - 5万
友達とペアで登録 - 15万
毎日12時に他のペアを表示 - 15万
ユーザー同士のダイレクトメッセージ機能 - 15万
マッチングがあった際などの通知機能
アプリ通知 - 5万
Facebook通知 - 5万
メール通知 - 5万

WEB管理システム
登録ユーザー管理 - 20万

WEB一般ユーザーサイト
デザイン - 10万
コーディング - 10万
Facebookアカウントログイン-サイト対応 - 3万
友達とペアで登録-サイト対応 - 5万


アプリ
デザイン - 25万

iphoneアプリ開発
アプリベース開発 - 20万
Facebookアカウントログイン-アプリ対応 - 3万
友達とペアで登録-アプリ対応 - 5万
毎日12時に他のペアを表示-アプリ対応 - 10万
ユーザー同士のダイレクトメッセージ機能-アプリ対応 - 10万
マッチングがあった際などの通知機能
アプリ通知-アプリ対応 - 3万
Facebook通知-アプリ対応 - 3万
メール通知-アプリ対応 - 3万

Androidアプリ開発
アプリベース開発 - 20万
Facebookアカウントログイン-アプリ対応 - 3万
友達とペアで登録-アプリ対応 - 5万
毎日12時に他のペアを表示-アプリ対応 - 10万
ユーザー同士のダイレクトメッセージ機能-アプリ対応 - 10万
マッチングがあった際などの通知機能
アプリ通知-アプリ対応 - 3万
Facebook通知-アプリ対応 - 3万
メール通知-アプリ対応 - 3万

計 - 302万

その他
サーバー運用費 - 数千～
システム保守・運用 - 15万～

mylineさんの見積もりと同感。
５００万円くらい予算準備しないと、サービス停止になるかもしれません。