iPhone・Androidアプリを作りたいのですが、ざっくりどれぐらいの費用が必要でしょうか？

記載の規模に対応出来る物を１ヶ月では難しいとは思います。
「世界中で2200万人以上が参加」

価格的にはシステムで１０００万円以上ではないですかね。

見積もり価格は各社共に違うと思いますが、弊社は300-400万円で見積もります。
4-5人月はかかると思うので、１ケ月の納期は難しいでしょう。
このクラスの開発は要件定義、設計だけでも１ヶ月以上かかると思います。

規模は大幅に縮小されていますが、それでも「性能要求」を考えると厳しいでしょう。
性能要求を十分みたすには、インフラ周りから設計段階で検証する必要があると思います。
ソフトウェアだけでなく、ハードウェアを含めて性能要求を満たすか？
十分な検討が必要だと思います。　

「ユーザー数は最大でも5万人程度」　との事ですが、依頼される時は「性能要求を保証してもらっておく」と良いでしょう。

大幅に同時接続の想定が減っておりますが！

ロードバランサー（負荷分散機等）の検討や、ネットワーク機器も含めた性能要求検証を事前に行われておくことをお勧めします。
ビジネスでご利用の場合、初期の運用では問題がなくても利用者数が想定人数に近づくと利用できなくなる場合もございます
事前に性能要求を十分に満たせるか？検討と開発会社に性能要求保証を依頼しておかれると良いでしょう。