追加報酬を頂くには、追加契約が必要ですか？

追加報酬は仮払のプールがないため、ざっくり言うと

・納品をする前に相手が支払いをする（前払い）
・納品をした後に相手が支払いをする（後払い）

のいずれかになります。

再度、契約、仮払、納品のステップを行うなら
新たに新規のプロジェクトを立ち上げて契約をし直すようになります。

初回の契約が検収の段階で止まっているのなら、
条件変更リクエストから、その案件で継続することができますが…。

悪意なく、ただやり方がわからないだけのクライアントでしたら、
上記の説明をし、新規のプロジェクトをお願いしてみてはいかがでしょうか？

ちなみに自分の場合、追加報酬は
その案件の成果物に対してボーナス的な感じで頂戴しています。
前払いや後払いですと、お互いリスクが生じるので、継続案件としては用いません。