在宅ワーカーの保育園入園申請について

>>> 会社から仕事を受託していることの証明書を書いてもらった方が申請が通りやすいと言われましたので、今仕事を請け負っている会社に問い合わせてみましたが、その会社から書けないとの回答でした。
>>> こういった場合、自営業として申請をした方が申請が通りやすいのでしょうか？

良いか？　どうか？　ではなくて、ここは「業務委託契約」です。
申告するなら「自営業」扱いになると思いますよ。

>>> 収入が確定申告するほどの金額に達していないので、確定申告などはしていません。
申告しないならわかりませんが、スタンスは自営業でしょう。

利用規約くらいは読んで契約内容は理解しておくほうが良いと思いますよ。

クラウドワークス利用規約
https://crowdworks.jp/pages/agreement.html

「内職」と言ってもアルバイトのように「雇用契約」になりませんので当然雇用主もいません。

業務委託契約の説明は下記のページで確認できます。
http://www.lancers.jp/magazine/5331

以前、某在宅ブロガーさんの記事で読んだことがあります。
保活の際、開業届の控えを提示したら、役所での対応がガラリとかわったとのこと。
ただ、働いている事の証明が必要となるので、やはり確定申告で青色申告をしないといけないそうです。
地域や担当者の方によって対応には差があると思いますので、色々調べて見ると良いと思います。

ちなみに、上記の在宅ブロガーさんのブログは
「待機児童」「 在宅ライター」で検索していただくとおそらくすぐに出てきますので、探してみてください。
この方は、結論として保育園に預けない事にしたようですが。
ちなみにちなみに、私も小さい子供がおりますが、幼稚園に四年保育で預けて仕事を続けています。
四年保育についても地域差がありますので、こちらもお住まいの役所等で尋ねてみてください。