非公開オプションを付けているのに

FAQの説明だとここですね。
https://crowdworks.secure.force.com/faq/articles/FAQ/10062/?q=%E9%9D%9E%E5%85%AC%E9%96%8B&l=ja&fs=Search&pn=1&id=kA010000000UKAc&url=10062

どうも、非公開というのはログインしないと"詳細"が見られないだけで、案件のタイトルは公開されるようです。
タイトルだけは、最初から公開されても差支えないようなものを設定したほうがいいですよ。

初めまして

@sohodbさんのツイートとは以下のURLのことでしょうか？
https://twitter.com/sohodb

であればですが、@sohodbさんがどのようにして情報収集して、どのような意図で発信されているかは、正確にはわかりませんが、おそらく

1.@sohodbさんがcrowdworksのアカウントを持っている
2.そのアカウントでcrowdworksにログインして、公開・非公開を問わず、案件毎のURLを取得して配信している
ということかと思われます。

ただし、@sohodbさんのフォロワーさんやweb上の任意のユーザーが該当のツイートのリンクをクリックしても、crowdworksのアカウントを持っていなければ、ツイートに掲載されている内容以上の閲覧はできないので、「インターネット上の全てのユーザーに全ての情報が表示されているわけではない」ので、その意味において「crowdworksユーザー以外には非公開」ということになっています。

crowdworksも本人確認制度をとっていますが、本人確認は義務づけられている分けでもないので、匿名でも登録できる仕組みです。また、上記の通り、crowdworksのアカウントを持っていなくても、案件名は誰でも見られるようになっているのは、今後利用しようと検討している人たちに、どんな案件があるのか、どんなユーザーがいるのか、どんなシステムなのかを伝えるためにはいたしかたないことかと思われます。

それでも困るということでしたら、
非公開オプションがついている場合、ログインしていないユーザーには全て非表示にするような仕組みにするよう、事務局に提案するなどはいかがでしょう？
ただし、上記が対応されても、先に書いた手法であればツイートはできてしまいますので、該当の方（今回の場合、@sohodbさん）に、ツイッターのDMなどで、該当ツイートの削除要求をされてはいかがでしょうか？

おそらく、こちらで相談されても、そのままだと思われます。

ご参考まで。

コンペ中とかに限り終了後は公開されてしまいます。

ちょっと気になったのでもう少し調べてみました。
非公開オプションになっていても非ログインユーザーでもクラウドワークスの検索ページで一覧表示ででてきて、応募タイトルと募集者の画像が出るようです。非公開オプションを付けても、だれが募集をかけているか？ということに関してはばれてしまいます。
また、googleなどの検索エンジンで募集タイトルに含まれる単語などで検索をかければそこにヒットする可能性があります。

本当に隠したいということであれば、先のかとう様のコメントの通り、非公開というだけではダメです。
私は使ったことがないのですが、「スカウト（非公開)」というオプションでで特定のメンバーにしかみせないものがあるようなので、こちらを使うのが正しいものと思われます。
https://crowdworks.secure.force.com/faq/articles/FAQ/10270/?q=%E3%82%B9%E3%82%AB%E3%82%A6%E3%83%88&l=ja&fs=Search&pn=1&id=kA010000000UKDn&url=10270

ご参考まで

このコンペは非公開で行われているため、提案の内容は公開されません。

とあるように各提案が非公開なのです。これも終了後は公開されます。