マッチングサイトの開発について

細かい機能はあると思いますが、最小構成でフルスクラッチで作ると最低100万以上、工数2か月以上はかかると思います。
デザインについても、デザイナーを入れればその分別途かかるかと思いますが、費用はデザイナーさんしだいです。
スマホ対応をどうするかによっても大きく変わる場合があります。ある程度デザインを妥協できるのならば、共通デザインとしてある程度安くはできるかもしれません。

運用に関しては、信頼性とトレードオフなのでご予算次第かと思います。
ごく初期なら、最低でも1000円クラスのVPSで運用は可能ですが、メンテ代も含めて最低 数万/月は見ておいた方が良いでしょう。

答えになっていませんが　一応

医療法というもので、病院は決まった広告しか告知してはいけません。
名称・所在地・診療科目・常駐医師名・保険＆救急の有無・診療時間・入院施設の有無、など、本当に最低限しか許可されていません。
診療科目という点で実績は書くことができますが、ＰＲとみられるようなものは無理でしょう。

口コミはネット上暗黙の了解になっていますが、医療専門の口コミサイトはあまりありません。

医大教授などのコラムなどでしたら可能かもしれませんが
なんとなくこの案件は法律に抵触する可能性もありますので、一応ご報告まで…

マッチングサイト構築に注力しており、現在求人サイトも3サイト同時並行で作成してます。
一つは、歯科医の求人サイトで、今回のサイトとかなり似ていると思います。
通常　マッチングサイト構築は、概算で150万円程度はかかります。　ベースがあってある程度そのベースにあった形で作ると安価で作成できますが、それでも70-80万円程度はかかります。
デザインもどこまでやるかで、それなりに費用がかかります。
弊社ではいろいろな求人サイトを手掛けているので、ある程度お役にたてるのではないかと思います。
要件仕様がどのようになるかで、お見積もりは結構幅が出るものです。