既存サイトのphpプログラム（出勤シフト・スケジューラー）の修正

修正内容が具体的に記載されていないのでボリュームが見えていませんから
見積もるのは難しいと思います。

利用しているフレームワークやPHPのバージョンなども明記されておかれる方がよいです。

ここで見積を問い合わせるより、直接公募して入札希望業者に見積を提示させるほうが確実です。
ここは閲覧していない業者も沢山いますのでここで聞いても適正価格はわからないです。

また、アルバイトや副業として請け負っている業者と正規企業として請け負っている企業の価格は違いますのでそのあたりも踏まえて直接公募して価格/内容を確認されるのをおすすめします。

ここの利用が初めてであれば、CWコンシェルジュという無料サービスを利用して公募されるとよいかもしれません。

CWコンシェルジュ
https://crowdworks.jp/concierge

内容が漠然としている部分がありますので、トラブルの症状をヒヤリングさせてもらう必要があるでしょう。
再現性のできるバグであれば、そのプロセスも説明してもらう必要があります。

調査をする場合、本番環境で調査はできませんのでシステムを預かる形で調査する事になると思います。
実際に調査するとなると調査工数が発生しますが、これは料金に含まれます。
よって信頼出来るベンダーを決めてから調査依頼からされるとよいです。

何が問題なのか？を明確にしていただきシステムを調査すれば作業ボリュームは算出できます。
作業ボリュームが分かれば価格も提示してもらえるでしょう。

調査しなくても、提示出来る内容があれば・・・その分調査が簡素化しますので作業工数も押さえれます。
お手数だと思いますが、わかる範囲でまとめてもらえれると助かります。

では、お返事お待ちしています。