情報漏洩について

ここのクライアントは違法も公序良俗も厭わない「モンスター」も多いので、こちらには非はないので、そちらの負担で調査でも何でもして下さいと告げて連絡を絶った方がいいですね。評価は諦めましょう。
場合によっては相手の方が強要罪、脅迫罪に問われます。

個人的で極端な事を言うと、
名刺というサイズで大きくは無いですが、
基本的にはペラものはIllustratorで作る事をお勧めします。
外部変換はお勧めしませんし、
特別な条件を除いてビットマップ系の画像ソフトで作るのはお勧めしません。
（パーツとして必要な場合はビットマップ系のPhotoshopを使ったりはありますが）

そんな匿名の反社まがいの輩はブロックして無視でいいです。
エスカレートする様なら警察に相談してください。
あと今後は「何処の誰だか分からない者同士」の取引はやめた方がいいです。

一般的なデザイナーの感覚からすると、外部サイトを使用してデータを変換した事は、咎められるようなことではないと思いますよ。
（ただ嫌がる取引先もいるとは思いますので、今後は確認の上使用されると良いと思います）
請求内容と金額もこれといった根拠がなさそうですし、そもそも実際に情報漏洩がおこったわけじゃないから賠償金が発生する事は無いと思います。
先方には、「警察に相談します」とお返事してみてはいかがでしょう。

（まさかとは思いますが、この仕事を受けるにあたって何か特別な契約は結んでます？
外部サイトを使用したら○○円の違約金お支払う等々…
ちょっと気になりました。）

個人的な考え方として
書かせて頂きます。

秘密保持契約、NDA契約には慎重になって欲しいです。
（契約というのは、合意すれば色々責任が出てきます。）

私は法律関係では無いので、やたらな事は言えませんが
第三者から見ると、双方の言い分はどちらも理解は出来ます。

クライアントに言われたからと言って、やたらに賠償に合意しない方が良いと思います。
（裁判になる場合、書面で来るはずなので、書面で来た場合は、その書面が本物なのかの確認と対応、弁護士などのサポートが必要かと思います。）

それから、依頼や応募をする前に、クライアントの評価についても目を通してから依頼を受けたり、
応募をする方がトラブルの予測が立ちやすいように思います。
（評価が絶対ではありませんが、勘が良ければ見えて来る事も多いかと思います。）

以上、あくまでも個人的な意見です。