契約していたHP制作会社が倒産してサーバーが維持できないそうです。サーバーが無くなる前にドメインを引き取ってテストサーバーに残っているHPを組み直し最終的には自分で更新とか出来るまでにしてほしい。

ドメインの引取サービス等はブロバイダーに相談される方が良いでしょう。

例
http://asahi-net.jp/service/option/hosting/domainname.html

>>> テストサーバーに残っているHPを組み直し最終的には自分で更新とか出来るまでに
>>> してほしい。

優秀なツールで編集されるのであれば、さほど問題はないと思いますが。

例えば、Adobe Fireworksなど。
正しく設定しておけば、サイトからのダウンロードは一括で行えます。
また、別のサイトへのアップロードも一括で行えます。
同期設定をしておけば、変更毎に同期先にも変更内容が反映されます。

契約していたHP制作会社及び新契約するVPS Server会社と相談されるのが良いでしょう

ちなみに完全に環境を前環境と同じに近い状況にされるのであれば！
レンタルサーバーよりVPSを利用されるのをお勧めします。

VPSの設定ならここで依頼しても良いと思います。　ドメイン移管はVPS業者に依頼されると良いでしょう。

>>> 最終的には自分で更新とか出来る
前文通り優秀なツールでサイト管理をするのが簡単だと思いますが！
バージョン管理ソフト(git)などを使う方法もあります。
こちらだとVPSに設定が必要ですね。　それはここでセッティング依頼をかけると良いでしょう。

基本的にご自身でサイト更新等を行うと言うのはそれなりに知識がある前提でお話ししています。

ドメインの移管作業につきましてはVPS業者に依頼してください。
書面上の手続きやDNS設定はVPS業者がやるのが確実です。

VPSの設定だけであれば請け負う事は可能です。
現状の環境を調査・確認する必要がありますのでそれらを提示してもらう必要があります
作業工数により価格は変動いたします。（何をインストールするのか、にもよります）

ここで「公開相談」をされるとセキュリティ上の問題があると思います。
また、私に依頼を希望されるのであれば「公開見積」をしておりませんので、
お手数ですが直接私に追い合わせてください。

なお、ご利用されるソフトはソフト会社で購入されれば良いと言うことになります。
AdobeのFireworksであればAdobeで購入できます。

http://www.adobe.com/jp/creativecloud.html

ドメイン移管はご自分でも可能ですが、所有権が誰なのかが問題となります。
あなたになっているのであれば問題ありませんが、HP制作会社になっている場合は少々面倒です。
※whoisでドメイン所有権情報は誰でも見られますが、調べてみたところHP制作会社っぽい名前の会社名になっています
所有権を移管するには元の所有者の認証が必要です。
倒産して連絡がつかなくなると手続きができませんので、早急に移管してもらったほうが良いでしょう。

ＨＰについては、ご自分でHTMLを勉強して更新できるようにするのもなくはないですが、頻繁に更新する場合は面倒ですのでWordpressなどのCMSに切り替えたほうが良いかもしれません。

例えばこちらで調べることができます。
http://whois.jprs.jp/