ペンタブのみでイラスト、ロゴ作成の応募は可能ですか？

「指定されている」なら無理だと思います。
指定のない発注を探されるのが無難でしょう。

結論から言いますと、イラレやフォトショその２つを持っていなくてもほとんどの場合代用が効きます。

今は無料で良質の描画ソフトがいくつも出ているのでDLしてそこからスタートすると良いと思います。
「フォトショップ形式で」というのはつまりpsdで納品しろと言ってるだけのことです。
で、それら無料ソフトほとんどのものがpsd出力可能ですので、フォトショがなくてもある程度の水準のものができますし、クラウドソーシングレベルのものでしたらたいがい制作可能です。
aiデータに関してはイラレがあることが望ましいですが、jpgやpsdなどのラスターデータを無料でベクター変換してくれるサイトがいくつもありますので、「ベクターデータで」という注文でしたらこれを利用するという手もあります。

以上のやり方でフォトショやイラレがなくてもここでの依頼の70%くらいはこなせると思いますよ。
それほどご心配することはありません。
要はスキルを身につけていかにクライアントの気にいるものが作れるかということだけです。
そこそこいける見通しが立った時点でフォトショなりイラレなりを購入して本格的に制作開始しても十分間に合うと思います。

指定フォーマットで出力できるなら、構わないですが「指定されている」のでできなければダメでしょう。
また、「フォーマット」指定している場合と「アプリ指定」している場合は異なりますので、「アプリ指定」している場合は
そのアプリである必要があるでしょう。

細かい確認はクライアントに直接質問するのが確実ですよ

あの〜、aiはともかくフォトショップで「アプリ指定」というのは言葉的に意味をなさないんですけど。
「フォトショ独自のエフェクトを使って作れ」というのなら話はわかりますが、製作じゃなくて納品の話ですよね？
「フォトショップ形式で」というのはとりもなおさず「psdで納品しろ」と言ってるのと同義です。
aiはバージョン指定があったり、aiデータでという場合とベクター状態でさえあればOKという場合があるので若干ケースが違いますが。

私はデータ納品になって何年にもなりますが、「フォトショップ形式で」と言われてフォトショ以外のツールでpsdを作って納品をして問題が起こったことはただの一度もありません。何で作ろうとpsdはpsdなんですけど。
…というか「アプリ指定」とやらをしているクライアントは見たことないんですが。
「納品は必ずフォトショップで作ったpsdにしてください」とでも言うんでしょうか。　いないですってw

＞＞＞製作じゃなくて納品の話ですよね？

製作しないで納品するというのが、わからないのですがw
製作しないなら依頼しないと思いますけど。

「加工編集するのに、Photoshopで実装しているのエフェクトを必ず利用してほしい」というのは要望を自分は経験してます・
御社が経験しているかどうかはしりませんが。

フォーマットだけでなく、製作プロセスや加工プロセスでも制限してくるケースを自分は経験してますけど。

「ロゴ"作成"」の募集に応募するなら「製作」なので
製作条件がある場合も十分にありえます。

納品フォーマットしか条件指定してこないわけではないと思います。
もちろん、フォーマットさえ合わせていれば良い場合もあります。

不安なら細かい部分は、クライアントとそこは確認するのが確実だと思います。