ドメイン移管からレンタルサーバー移行の作業一式をお願いしたいのですが

ざっくりしすぎだと思います。
見積にあたっては以下のような情報が必要です。

・移行理由（改善したい点）
・現状のサーバ契約内容
・移行予定先のサーバ契約内容
・ホームページの内容・目標
・ホームページのアクセス数や会員数、ページ数等、規模が分かる情報
・メールサーバ移管有無
・バックアップ有無
・契約は自社で可能かそれとも一式か
・セキュリティポリシー
・今後の運用保守
・現在使用しているCMS等
・現在使用しているフレームワーク等
・プログラムの有無、言語
・データベースの有無
・冗長化の必要性
・SSL有無
・ドメイン管理状況

そのまま依頼されるのであれば、調査工数が発生するでしょう。
調査工数も人件費がかかりますので料金が発生します。

既に明確にわかっている事は発注先のベンダーに公開するほうが
安く見積もって貰えるでしょう。

調査が完了すれば、それに基づいて作業工数が算出されますから
実作業分の依頼金額が提示してもらえるでしょう。

現行システムを構築した方がいるのであれば、その方に引き継ぎ情報を明記してもらうのが利口ですよ。

できないとか、駄目とかではないですけど
ベンダーに丸投げが一番お金がかかります。

予算があまり確保できない場合はできるだけ自力でできることは自力でやるのが利口です。
既になんらかの環境が構築されているのであれば、それを構築した人に資料を作らせるのがよいでしょう。

お世話になります。

>ホームページの管理が移行する際に発生する作業を完全に
>外注という形でお願いをしたいと思っているのですが

当方サーバ専門のエンジニアですが
開発の方や営業セールスの方でこのようなご要望をいただくことはよくあるので
当方でレンタルサーバやクラウドサーバを契約＆移行を代行してd
開発の方の成果物をサーバにアップしリリースするというお仕事は結構やらせていただいています。


shinkakuさんが記載されているような事を整理いただきご依頼いただけると
スムーズにはことが進むと思います。
ただ、ケースによっては、なかなかそううまく伝えられるものではないかとも思いますので
コミュニケーションとりながら対応を進めるのもありかと思いました。

よろしくお願いします。

斉藤