納期に間に合わず賠償請求されました

この内容だけではどちらに落ち度があるのかよくわかりませんが
あなたがNDAを拒否していたことや個別契約を拒否していたことやクライアントとエンド間の契約がどうなっていたかは本質でではないと思います。

なお「法律の専門家」というのは弁護士の事なので、ここでは無くしかるべきところにご相談ください。

むやみに契約したこと、また、契約関係で無視をしていることなど、不利益を被ってしまうことになります。
この問題はここでは解決しません
すでに民事訴訟を提起される直前の状態です。

法テラスにご相談してください。
相談は無料ですが、弁護士で対抗しないといけない状態です。
法テラスで弁護士を雇う場合は分割払いができる場合があります。

何でも拒否をしていると、裁判所が動き、やがて強制執行されてもやむを得ない状況になったら仕事ができなくなりますよ。

＞専属の法律事務所から通知が届いていました。

まずは、その弁護士を語る人が、実在する弁護士さんなのか？
通知の送り主と実在する弁護士さんは、同一人物なのか？（他人が実在する弁護士さんのふりをして、通知を送ってきたのではないか？
を確認しては？

お疲れ様です。

厳しい言い方をすれば、初稿だけは期日通りに通しておくべきだったと思います。
極端な事を言えば、指示通りの初稿さえ通して置けば、やり直しでどのくらいかかるか再見積もり（費用と時間）を提示するれば済んだ気がいたします。

仕事が詰まっている場合や、納期に間に合わなそうな場合、最初から仕事を断るのも
フリーランスの場合は必要かと思います。
（会社員の場合は仕事を断れない場合はありますが、フリーランスはテイストの違いや納期で断る事ができます。）

NDA契約の場合は特に注意が必要な場合が多いように思います。
（合意すれば、責任が発生すると考える必要があります。また、NDAを締結してからでないと見積もれないという状況でもありますので、ここをどう考えるかが大事かと思います。）

通知が書面の場合はそれが本物であるかを確かめ、弁護士などの専門家に相談する必要があるように思います。
（法律関係の仕事はしていませんので個人的意見ではありますが。）

期限に遅れることをかなり前に予告する義務があるから賠償は妥当ですよ。

そのためには保険などに入るべきですね。