納期が・・・

●納品延長
●報酬増額
この2項目は大変難しいですが、
どうしても出来なく延長したい場合は、丁寧な言い方でメッセージ送れば、
クライアントが媒体期限がある場合は難しいですが、
大抵のクライアント様はOKしてくれるはずです。

私なんて今やっている物凄い難しいイラスト起こしは、
クライアント様は「3月末までに納品してくだされば嬉しい」とありましたが、
逆にクライアント様から、「もちろんそれ以降になっても構いません」ときましたが、
私はなんとか3月末までに納品に納品するつもりです。
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こんなメッセージはいかがですか、
「お約束の今月末に納品するつもりでしたが、大変難しく苦労しています、
なんとか今月末までに納品するつもりで進めていますが、
誠に勝手で恐縮でございますが、納品期限延長を嘆願したいのですが、
お許しをお願い出来ないでしょうか？」
てな・・メッセージを送れば、それなりのメッセージがクライアント様から来るでしょう、
私はライターではないので、あなたはもっと相手が完全に納得するメッセージを完成してください。

あくまでも下手（したて）ですよ、極端な話、自分はクライアントの奴隷位に思って対処してください。
この方法なら納品をあせっていないクライアント様なら了解してくれると思います。

分かりませんが、こんな回答ですが参考になれば幸いです。

2022年01月11日に契約した案件の事ですか？

気にすべきことは、（どうやったら自分が怒られないか？ではなくて）
「どうやったらクライアントの損害が最小限になるか？」ですかね。
その視点で話せば、建設的な相談ができると思います。

自分がやるなら納期は〇日になってしまう。
納期厳守が必要なら、他のワーカーを探してもらったほうがいいかもしれない。
それなら、他のワーカー探しを、なるべく早く開始してもらわないといけない、とか。
継続or他のワーカーを探すか？の判断をクライアントに委ねるにしても、
なるべく早く連絡したほうがいいですよね。

とりあえず前半を先に送り。
クライアントには前半だけを次工程に進めてもらって、
その間にワーカーは後半の作業をし。
あとから後半を納品するとか。

それは大変でしたね。
でも人間は意外と、本気を出せば何とかなるので、今1/24ならば何とか行けそうな気はしますよ。
しかもギリギリ納期で書いた物の方が、いわゆる会心の一撃出現率は高いので、意外と良い仕事が出来る可能性は高いのではないでしょうか。
過去に受賞したりPV１位獲得したりTVとかで使われたりするのは、往々にして、ギリギリ締め切りの時でした。
時間がたっぷりある時の仕事は誰もが似通ってくるのですが、「もうこれ無理じゃん。やっつけ仕事でいいからやるしかない」と覚悟決めた時は、自分のオリジナル色が否応なしに強く出ます。
だから、「無理かも」と考えて今スケジュールを伸ばしてもらうのではなく、やれるだけやってみたらいかがでしょうか。
ちなみに作家や漫画家が鬼のようなスケジュールで素晴らしい作品を作る理由のひとつが、これっぽいです。（普通の人が会心作を出せない理由も、ギリギリまで死力を尽くそうと頑張らないから、これに尽きます。）

（Q）期限延長のお願いをしたいのですが、どう切り出したらいいでしょうか。
→お願いするならシンプルがいいです。
→『いつもお世話になっております。納期を３日だけ遅らせていただくことは可能でしょうか。諸事情ございまして、納期内の納品が難しい状況でございます。申し訳ございませんが、可能な場合はご検討いただけますと幸いです。ではよろしくお願いいたします。」みたいに。

気になってプロフィールから仕事内容を拝見いたしましたが、5000文字の考察記事のお仕事でしょうか。
基本的に5000文字の記事一本ならば納期は一週間程度で済むはずですが、5000文字を1本ではなく何本も受注しているのですか？
もしそうでしたら、たとえば「５本中の２本なら、１月中の納品が可能です。残りの３本は2/５までに延ばしてもらえないでしょうか」という風に提案してはいかがでしょうか。
また、考察記事だと資料をある程度読み込まねばならず時間が取られがちなので、超オタクで丸暗記している状態でないと、結構大変かと存じます。
一週間程度締め切りを伸ばしてもらった所で、資料が膨大すぎて間に合わない可能性もなきにしもあらず。
無理そうだと判断したら「契約途中終了リクエスト」をして、以後は考察系を一切引き受けないのも一案かと存じます。
（私はゲーム好きですが、書こうとするとリメイク版含めて全部プレイし直さないといけないので、効率の面からゲーム記事を今は引き受けていないです。だから分かりますが、漫画やゲームの考察は超オタクじゃないとキツイですよ）
今回は撤退もあり、ということで参考になりましたら幸いです。